とっつぁんのブログ２

　心理学的調査、実験などで重要なランダムサンプリング（無作為抽出）について述べる。 　

　ある集団（母集団）からたまたまの確率で被検者を選ぶことをランダムサンプリングという。心理学の研究ではたとえば刺激の順序によってデータに偏りが出ることがある。これを「系列位置効果」と呼ぶ。他に成績の良い生徒だけをサンプルに取って一般化してしまう誤りや、大学生だけを被検者に選ぶことによって、結果を一般化する際に大学にいることによる独特の効果を無視してしまう誤りなどが考えられる。またある処遇を受けたひとを高い割合で被検者に選ぶとか、快く回答に応じた被調査者だけのデータから回答に応じなかったひとたちについても一般化してしまう問題、男女差を無視してしまう問題などが考えられる。 　

　上記のような問題を回避するためには、系列位置効果が出ないようにするために、さまざまな順番で実験を行ったり、偏りのないデータを取るために被検者をたとえば謝礼を支払うことを条件に郵便番号１つにつき１人選んだりして、データの無作為化をはかることが重要である。このように無作為化した被検者について標本を取る実験を「実験」と呼び、そうでない実験を「準実験」と呼ぶ。 　

　「実験」のなかで実験群と統制群を用いて因果関係を求めるような場合、このことはとても重要である。なぜなら、実験という処遇の効果を純粋に抽出しなければならないからである。 　

　さらに実験に関しては次のような注意が必要である。独立変数（条件変数あるいは説明変数）と従属変数（結果変数あるいは目的変数）を設定したとしてもそれは見かけ上のことで、仲介変数が真の説明変数である場合がある。たとえば、統一算数テストなどでの算数の成績が身長を説明することがある。この場合仲介変数である年齢が真の独立変数であるような場合である。したがって、実験や調査をするさいにはなにが真の説明変数かを見極める必要がある。また、何を母集団として仮定するかによって、標本抽出が変わるので、そのことに対しても配慮が必要である。

　心理学（精神物理学）で使用される刺激の比較法には調整法、極限法、恒常法、上下法、一対比較法、系列カテゴリー法がある。１つずつ取り上げて説明する。 　

　調整法は知覚の閾値（５０％の確率で刺激を検出できる刺激の強度）を数回、明らかに知覚できない値から被検者自身がはじめて知覚できるところまで上げていき求める方法である。 　

　極限法は実験者が刺激を操作する点で調整法と異なり、明らかに知覚できる刺激強度から明らかに知覚できない刺激強度まで下げていく下降系列と、明らかに知覚できない刺激強度から明らかに知覚できる刺激強度まで上げて行く上昇系列を数回繰り返し、それらの平均から閾値を求める方法である。 　　

　恒常法は、閾値付近と実験者が推定した刺激強度を７つくらいあらかじめ決めておき、実験者が無作為にそれらの刺激を呈示し、刺激値下での知覚割合を直線で結んで記録しておき、知覚確率が５０％の点を閾値として求める。 　

　上下法では、実験者がたとえば明らかに知覚できない値から上昇系列で刺激強度を強くして、被検者がはじめて「知覚した」と報告したら下降系列に転じ、明らかに知覚できないと被検者が報告したらまた上昇系列に転じると言う操作を繰り返し、変化点の平均を閾値として求める。 　

　一対比較法は、各刺激のうち２つを選び、どちらが優越するかを報告してもらう方法である。 　

　系列カテゴリー法は各刺激について、「最も当てはまる－まぁ当てはまる－どちらとも言えない－あまり当てはまらない－全く当てはまらない」などの尺度を用意し各刺激強度について評価してもらう方法である。なお、この方法は質問紙検査などでも有効である。 　

　ウェーバーは刺激の弁別閾の研究で５０グラムと４９グラムの変化を検出できるひとは１００グラムでは９８グラムで変化を検出できることを見出した。刺激の増分ΔＳ、比較基準刺激をＳとして式で表せば、

　　　　　　　ΔＳ／Ｓ＝一定

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

となる。 　

　さらにフェヒナーは、ある刺激の存在自体を感知できる絶対閾と刺激強度間の異なりを感知できる弁別閾を区別し、刺激強度と知覚の関係にかんして、ｋを感覚毎の定数、Ｓを感覚の大きさ、Ｒを刺激の物理量としたとき、 　　　　　　　　　　　　　　　

　Ｓ＝ｋｌｏｇＲ

の関係にあることを実証した。

　これまでは背後（母集団）に２項分布や正規分布を仮定できる場合の検定法を紹介した。これらはパラメトリック検定と呼ばれる。しかし心理学のデータにはそれが仮定できないものがある。それらの検定をノンパラメトリック検定と言う。 　

　すでに紹介したχ2検定は、母集団に特定の仮定を置いているから、パラメトリック検定である。これとは違ってノンパラメトリック検定としては符号検定、順位和検定（ズレの検定）、順位相関係数などがある。以下それぞれぞれについて述べる。 　

　符号和検定では、各変数から中央値の期待値を引き、それらの符号を書き並べる。たとえば恋人への好意度が１０点満点で、過去の充分大きなサンプルサイズの既知の中央値が６．５だったとする。 新しいデータ１５人分が、 　　

７　８　８　７　９　６　７　８　７　６　７　３　８　９　７ だったとすると、符号は 　　

＋　＋　＋　＋　＋　－　＋　＋　＋　－　＋　－　＋　＋　＋ となる。２項分布の公式

　ｎ　　　　　　　　　ｎ！ 　

（　　）　　＝　―――――――― ―――

　ｘ　　　　　　　ｘ！（ｎ－ｘ）！

　からｎ＝１５、ｐ＝０．５として 　　　　

　ｐ（０＋１＋２＋３）　＝　．０１７

　よって、５％水準で新しいデータの中央値の方が高い、と言える。 　

　次に順位和検定であるが、ある心理テストの「神経質さ」の得点が５０点満点で、心理療法を受けた群（ｎ＝１０；Ｔと表記）と、受けていない群（ｎ＝１０）で以下の成績を示したとする。 　　

　心理療法あり（Ｔ）　２５　２１　３０　３１　２８　２５　３０　２９　２５　２０ 　　

　心理療法なし（Ｒ）　３７　２９　２５　３６　４２　３８　２８　３５　４０　３６

　これを値の小さいものから並べる。なお「心理療法あり群」には（Ｔ）を添えてある。 　　　　

２０（Ｔ）　２１（Ｔ）　２５　２５（Ｔ）　２５（Ｔ）　２５（Ｔ）　２８　２８（Ｔ）　２９　２９（Ｔ）　３０（Ｔ）　３０（Ｔ）　３１（Ｔ）　３５　３６　３６　３７　３８　４０　４２　　　

　これらの値を順位に置き換える。 　　

１（Ｔ）　２（Ｔ）　３（Ｔ）　３（Ｔ）　３（Ｔ）　３　７（Ｔ）　７　９（Ｔ）　９　１１（Ｔ）　１１（Ｔ）　１３（Ｔ）　１４　１５　１５　１７　１８　１９　２０

　検定統計量Ｒ＝（（Ｔ）の値の総和）＝１＋２＋３＋３＋３＋７＋９＋１１＋１１＋１３ 　　　　　　＝６３

　Ｒの０．０２６の臨界値は７９以下、よって「心理療法あり群」は５％水準で有意に「神経質さ」の得点が低い。順位和検定についてはこれで述べた。 　

　さらに、順位相関係数では次のような問題を扱う。 数学と理科のテストで以下のような順位がついたとする。

　 数学　　５　　８　　６　　１　　９　　４　　７　　２　　１０　　３

　理科　　４　　９　　７　　１　１０　　５　　８　　３　　　６　　２

　この場合の順位相関係数は次式で与えられる。 　　　　　　　　　

　　　　　（Ｘi－Ｙi）の二乗の総和

ｒ＝１－（―――――――――――――――　×　６）

　　　　　　　　ｎ（ｎ二乗－１）

　この場合（Ｘi－Ｙi）の二乗の総和は２４なので 　　

　ｒ＝１－（（２４×６）／８００） 　　　＝１－０．１８ 　　　＝０．８２ と高い相関があることが分かる。 　

　ノンパラメトリック検定の代表例３つについて述べた。

　これまで見てきた心理学的統計検定の本質を要約すると、心理統計とは「変数の共変性の確認」だと言うことができる。 　他の基礎的な心理統計の方法についてこの後は概説してゆくこととする。 　

　「因子分析」とは、比較的少数の「因子」を数理的に共通のモーメント（重心の推定値）を抽出して、相関を分析する手法のことを言う。因子間行列から分散を最大にし、現象をよく説明する因子を抽出するのである。そのために各変数に最適な重み付けを与える。この重み付け係数のことを「因子負荷量」という。イメージして欲しいのが、分布が３０点から１００点までのテストと、分布が９０点から１００点までのテストを何も考えず単純に加算して「学力テスト」と銘をうつ誤りである。近年までは因子間に相関を認めない「バリマックス回転」という手法を用いて「直交解」を求めるのが主流であったが、最近ではある程度の因子間相関を認める「プロマックス回転」を用いて「斜交解」を求めるのが主流になっている。これらは共分散行列から計算される。心理学では質問紙検査を作成したり、イメージを分析したりすることに用いられることが多い。因子数であるが、１以上の固有値をスクリー基準によって決定する。因子分析には「探索的因子分析」と「確認的因子分析」がある。「探索的因子分析」では分析のはじめに最小二乗法や最尤法で初期解を求め解釈をし、２因子以上の解は各観測変数がができるだけ小数の因子から影響を受けている単純構造を探すため回転をする。「確認的因子分析」では、自由母数・制約母数・固定母数を指定し、因子間行列を求めることができるので、特定の理論的背景があるときには確認的因子行列をもちいる。これらは統計ソフトＳＡＳやＳＰＳＳなどで容易に求められる。 　

　心理学で意味やイメージを研究する方法としてはオズグッドによるセマンティック・ディファレンシャル（＝ＳＤ；意味微分）法が有名である。たとえば「怒り」という概念に、一対の反対の意味を持つ形容詞、たとえば「優しい－厳しい」、「良い－悪い」、「愛がある－愛がない」など１０～２０対の形容詞を７段階尺度で評定してもらい、因子分析を施して各尺度上の点を結びつけることでイメージ空間にプロフィールを作れるようにしたりする研究などがある。基本的に「評価」・「活動性」・「力量」からなる３次元意味空間に意味を定位することができる。が、研究によってはかなり違う次元を抽出することもある。

　先の節でも述べたが、分散分析を流れる基本的な数理的根拠は「分散の大きい平均値ほど平均値としての意味は弱い」と言うことである。それを念頭にこの節も読んでいただきたい。 　

　被検者それぞれがすべての条件について反応を求められるような調査・実験計画のことを「被検者内計画」と呼ぶ。このとき設定される条件のことを「要因」という。ここでは要因１が２水準、要因２が３水準であるような「２×３被検者内計画」の分散分析について述べる。 　

 

　例：５人の被検者に酒の銘柄「安東水軍」「剣菱」２銘柄について「冷や」「常温」「熱燗」３条件で美味しい順に１０点から１点までの点数で評価してもらった。このデータについて５％水準で分散分析を行いなさい。 　　　　　　　　　　

条件　　　　　　「安東水軍」

被験者　　加藤　　井上　　芝崎　　田中　　石田

「冷や」　　５　　　６　　　４　　　６　　　７

「常温」　　６　　　６　　　６　　　７　　　７

「熱燗」　　９　　　７　　　８　　　８　　　９

 

条件　　　　　　　「剣菱」

被験者　　加藤　　井上　　芝崎　　田中　　石田

「冷や」　１０　　　９　　　９　　　９　　　８

「常温」　　８　　　６　　　７　　　６　　　７

「熱燗」　　７　　　４　　　５　　　３　　　６

　理念的に全体平方和は以下のように分解する。

　全体平方和＝要因１の主効果の平方和＋要因２の主効果の平方和＋交互作用の平方和＋誤差の平方和（個人差の平方和＋要因１に対する誤差の平方和＋要因２に対する誤差の平方和＋交互作用に対する誤差の平方和＊） ＊・・・２要因の個人間計画では括弧内は一括して誤差の平方和として扱う

　まず、全体平方和を求める。

　全体平方和＝１４．６７＋８×２＋３．３５×２＋０．６９×８＋０．０３×７＋１．３７×４＋４．７１×５＋１０．０５＝１６＋６．７＋５．５２＋０．２１＋５．４８＋２３．５５＋１０．０５ ＝８２．１８

　要因１の主効果の平方和は、要因２の各水準をまとめて要因１の各水準の平均－全平均を二乗してそれぞれのサンプル数をかけたものを足し合わせて求める。このさい、次のような表を作っておくと便利である。　　　　

条件　　「冷や」　「常温」　「熱燗」　平均

安東水軍　５．６　　６．４　　８．２　６．７３

剣菱　　　９．０　　６．８　　５．０　６．９３

平均　　　７．３　　６．６　　６．６　６．８３

要因１についての表

各被験者　AllMean　Mean1　　　Mean2

加藤　　　７．５　　６．６７　　　８．３３

井上　　　６．３　　６．３３　　　６．３３

芝崎　　　６．５　　６．００　　　７．００

田中　　　６．５　　７．００　　　６．００

石田　　　７．３　　７．６７　　　７．００

 

要因２についての表

各被験者　AllMean　Mean1　Mean2　Mean3　

加藤　　　７．５　　７．５　７．０　８．０

井上　　　６．３　　７．５　６．０　５．５

芝崎　　　６．５　　６．５　６．５　６．５

田中　　　６．５　　７．５　６．５　５．５

石田　　　７．３　　７．５　７．０　７．５

　要因１（銘柄）の主効果の平方和は、 　

　Ａ1＋Ａ2＝０．１０二乗×１５＋０．１０二乗×１５ 　　　＝０．３０ 　

　同様にして要因２（冷やか常温か熱燗か）の主効果の平方和は、 　

　Ｂ1＋Ｂ2＋Ｂ3＝２．２１＋０．５０＋０．５０ 　　　　　＝３．２１ 　

交互作用の平方和は上の表の全条件についてのセル平均－全平均の二乗和－要因１の主効果の平方和－要因２の主効果の平方和であるから、 　

　Ａ×Ｂ＝７．５６＋０．９２＋９．３８＋２３．５４＋０．００＋１６．７４－０．３０－３．２１ 　　　　　＝５６．４３ 　

　次いで誤差の平方和を求める。誤差の平方和は全データについてセル平均との差の二乗を求め、総和したものである。 　

　誤差平方和＝０．３６＋０．１６＋２．５６＋０．１６＋１．９６ 　　　　　　　＋０．１６＋０．１６＋０．１６＋０．３６＋０．３６ 　　　　　　　＋０．６４＋１．４４＋０．０４＋０．０４＋０．６４ 　　　　　　　＋１．００＋０．００＋０．００＋０．００＋１．００ 　　　　　　　＋１．４４＋０．６４＋０．０４＋０．６４＋０．０４ 　　　　　　　＋４．００＋１．００＋０．００＋４．００＋１．００ 　　　　　　　＝２４．００ （小数点２桁以降丸め数値で計算しているため、全平均平方和≠要因１の主効果の平方和＋要因２の主効果の平方和＋交互作用の平方和＋誤差平方和、と値が若干違っているが、お許し頂きたい） 　

　誤差平方和の中身であるが、個人差の平方和・要因１に対する誤差の平方和・要因２に対する誤差の平方和・交互作用に対する誤差の平方和に分解できる。 　個人差の平方和であるが、各被検者の平均と全平均との差の二乗をデータ数だけ掛け全被検者で総和すれば求められる。この場合だと、 　

　個人差の平方和＝（０．４５＋０．２８＋０．１１＋０．１１＋０．２２）×６ 　　　　　　　　＝７．０２ 　

　次いで、要因１に対する誤差の平方和を求める。まずは上表「要因１についての表」の各セルから全平均を引いて２乗する。そして個人差と要因１の主効果をそこから引いた値が要因１に対する誤差の平方和ということになる。すなわち、 　

　要因１に対する誤差の平方和＝０．０９＋０．７５＋２．０７＋０．０９＋２．１２＋６．７５＋０．７５＋０．０９＋２．０７＋０．０９ 　　　　　　　　　　＝１４．８７－７．０２－０．３０ ＝７．５５ 　

　同様にして要因２に対する誤差の平方和を求める。今度は個人差と要因２の主効果を「要因２についての表」の各セルから全平均を引いて２乗したものから減じる。 　

　要因２に対する誤差の平方和＝０．９０＋０．９０＋０．２２＋０．９０＋０．９０＋０．０６＋１．３８＋０．２２＋０．２２＋０．０６＋２．７４＋３．５４＋０．２２＋３．５４＋０．９０ ＝１６．７－７．０２－３．２１ 　　　　　　　　　＝６．４７ 　

　交互作用に対する誤差の平方和の求め方は誤差平方和から個人差の平方和と要因１に対する誤差の平方和と要因２に対する誤差の平方和を引けば求まる。よって、 　交互作用に対する誤差の平方和＝２４．００－７．０２－７．５５－６．４７ 　　　　　　　　　＝２．９６ 　

　ここまでで、求めるべき数値はすべて出揃った。分散分析表を作成してみよう。 　　　　　　　―――――――――――――――――――――――――――――――― 　　　　　　　　　　要因　　平方和　自由度　　平均平方　　　Ｆ 　　　　　　　―――――――――――――――――――――――――――――――― 　　　　　　　　　　個人差　７．０２　　４　　１．７６ 　　　　　　　―――――――――――――――――――――――――――――――― 　　　　　　　　　　要因１　０．３０　　１　　０．３０　０．１６ 　

　　　　　　　　　Ｓ1誤差　７．５５　　４　　１．８９　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　―――――――――――――――――――――――――――――――― 　　　　　　　　　　要因２　３．２１　　２　　１．６１　１．９９　

　　　　　　　　　Ｓ2誤差　６．４７　　  ８　    ０．８１　　　　 　　　　　――――――――――――――――――――――――――――――――　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　交互作用　　　　　　　　　　５６．４３　２　２８．２２　７６．２７

　　　　　　　　その誤差　　２．９６　　８　　０．３７　 　　　　　　　　　　　　―――――――――――――――――――――――――――――――― 　　　　　　　　　　全体　　８２．１８　２９ 　　　　　　　――――――――――――――――――――――――――――――――

　結果、要因１・２の主効果は有意差なし、交互作用が５％水準で有意となった。要するに酒の銘柄や温度それ単独ではその酒のおいしさは決まらず、いずれかの組み合わせ方が酒のおいしさを左右している、という結果が出たことを意味する。　

 

 

　ｔ検定の場合でも、ここで述べる分散分析の場合でも、統計的検定の基本的な発想は、「分散が大きい平均値ほどそれとしての意味は弱い」と言う考えに基づいている。

　ここでは、水準（変数群の数）が３つ以上ある場合の平均値の検定と、変数に差があればどれとどれの差なのかを分析する多重比較の方法について述べる。 　

　差の検定は１回あたり例えば．０５水準で行うものとすれば、３つの変数について行う差の検定は（１－．９５の３乗）＝．１４６になってしまう。そこで考え出されたのが分散分析である。３つ以上の群の分散分析では、 　　　　　

　全体平方和＝群間平方和＋郡内平方和（誤差平方和）

と、全体平方和が分解できる性質を、平方和について利用し、分散の大きな要因の平均値ほど平均値としての意味が弱いと言う数学的性質を利用して差の検定を行うので「分散分析」と言う。例えば大学の心理学のテストで「優」「良」「可」のそれぞれの群の学生４人ずつの「心理統計学」での成績が１０点満点で以下のような成績を修めたとする。

優　　　９　　　　８　　　　　８　　　　　９

良　　　８　　　　７　　　　　８　　　　　６

可　　　５　　　　４　　　　　６　　　　　３

　ここで言えることは、全体で平均を取ると６．７５点であった／群平均は「優」群８．５点、「良」群７．２５点、「可」群４．５点であったと言うことである。したがって全体平方和は、 　　

　全体平方和＝５．０６２５＋１．５６２５＋１．５６２５＋５．０６２５＋１．５６２５＋ ０．０６２５＋１．５６２５＋０．５６２５＋３．０６２５＋７．５６２５＋ ０．５６２５＋１４．０６２５ 　　　　　　　　

　　　　　　＝４２．２５ 

　次いで群間平方和（群平均－全平均）二乗は、 　　

　群間平方和＝３．０６２５×４＋０．２５×４＋５．０６２５×４ 　　　　　　　＝３３．５

　最後に群内平方和（データの値－群平均）二乗は 　　

　群内平方和＝０．２５×４＋０．５６２５×２＋０．０６２５＋１．５６２５＋０．２５×２＋ ２．２５×２ ＝８．７５

となり、「全体平方和＝群間平方和＋群内平方和」となっていることが分かる。続いて分散分析表を作る。分散分析表は以下のような体裁を取る。 ――――――――――――――――――――――――――――――

要因　平方和　　自由度　平均平方　　　　Ｆ ――――――――――――――――――――――――――――――

群間　３３．５　　２　１６．７５　　１７．２７

群内　８．７５　　９　　０．９７ ――――――――――――――――――――――――――――――　　　

全体　４２．２５　１１

――――――――――――――――――――――――――――――　　

　上の図を見て分かるとおり、平均平方は平方和を自由度で割ったもの、Ｆは群間平均平方を群内平均平方で割ったものである。ここで自由度は群間（水準数－１）、群内（（水準内標本数－１）×水準数）、全体（全標本数－１）である。Ｆ分布表で当該自由度の臨界値を見ると、１％水準のときのＦ（２，９）＞８．０２なので、「心理学の「優」・「良」・「可」によって「心理統計学」の成績は、１％水準で異なっていると言える」などと報告する。 　

　しかし話はこれで終わらない。なぜなら、分散分析は「どこに差があったか」までは語らないためである。どこに差があったを知るためには、「多重比較」という分析が必要である。その方法はいくつも考えられているが、ここでは最も頻繁に用いられるテューキーの方法を紹介する。それには次式で与えられる検定統計量ｑを求める（ただし、各群のサンプル数が等しく、各群の母分散も等しいと仮定した場合）。 　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

ｑ＝　　　　　　　　　　　

　　　比較する群の平均値差の絶対値

――――――――――――――――――――――――― 　　　　　　　　　　

√（（群内の平均平方）／（各群のサンプル数））　　　　　　　

　このとき注意して欲しいのは、群の数は水準数そのものであること、群内の自由度は上記の通りであることである。

　ある変数Ａと他のある変数Ｂに関連があるとき、「ＡとＢに相関がある」と言う。相関は相関係数（ここではピアソンの積率相関係数）という変数で表すことができる。相関係数は次式で求められる。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　Ｓxy　　

　相関係数（ｒ）＝――――――――

　　　　　　　　　　Ｓx×Ｓy

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　    　　　　　　

＝（（Ｘ－ｘ1）（Ｙ－ｙ1）＋・・・＋（Ｘ－ｘn）（Ｙ－ｙn）／ｎ）／（Ｘsd×Ｙsd）

＊・・・ここでＳxyは共分散を、Ｓx・Ｓyをそれぞれ標準偏差（つまりＸsd・Ｙsd）を、大文字のＸ・Ｙをそれぞれの平均として表している。 　

　ｒ＝．８０以上の数値が求められればかなり強い相関、　．８０＜ｒ ≦．６０ならば強い相関、．６０＜．ｒ．４０で中程度の相関、．４０＜ｒ≦．２０で弱い相関、．００＜ｒ≦．２０で相関なしと判断する。ｒは－１から＋１のあいだに収まる。－の場合、負の相関があるということになる。 　

ではその値はどれぐらい確からしいものなのだろうか。ここにその検定法を示しておく。 　　　　　　

　ｔ＝（ｒ√（ｎ－２））／√（１－ｒ2） 　

　このｔ値はｔ分布に従うことが知られている。したがって自由度（ｎ－２）のｔ分布のｔの値が臨界値（５％水準とか１％水準の値）以上か否かを見ればよい。結果は「５％水準で有意ではなかった」とか「１％水準で有意だった」などと報告する。 　

　相関係数にはこのほかにもケンドールの順位相関係数、スピアマンの順位相関係数などがあるが、ここでは最も頻繁に使われるピアソンの積率相関係数を取り上げた。

　心理学には、主に数値要約をその仕事の中心とする記述統計と、サンプルサイズを超えた母集団をサンプルから推し量ろうとする推測統計がある。筆者心理統計の基本的発想を一言で言うと「数値要約のウェイト（共通項）の分析」だと考えるが、この節ではそのあたりの話題を論ずるとともに、２つの平均値に差があるかどうかを推測するｔ検定について述べる。 　

　数値要約の最もポピュラーなものは平均である。各サンプルから成る集合の各サンプルすべての総和をサンプル数で割ったものが平均である。平均の他にメディアン（中央値）、最頻値など数値要約する指標がある。外れ値（極端な値）がある場合は中央値を代表値にする方が適切である。では、数値要約はこれだけなのだろうか。数値要約には他に分散・標準偏差などがある。分散とは標本のばらつきの程度の指標で、データ１からデータｎまでのそれぞれの数値について平均との差の二乗をとって総和しデータ数ｎで割ったものである。そのルートを標準偏差と言い、背後に正規分布を仮定できる場合、（平均－任意の標本）を標準偏差で割ったものがｚ得点と呼ばれ、「データは正規分布について標準化された」という。事象の分布には左右対称のなだらかな山が仮定され、これが正規分布と呼ばれるものである。山の両裾へ行くにつれ生起確率は小さくなり、ｚ得点が－１．９６以下か＋１．９６以上ともなると、その生起確率は５％以下になる。ｚ得点を使った統計的検定にひとつの平均値の検定がある。ただしこの場合分散が既知でなくてはならない。 　

　分散が未知の場合、不偏分散（データ数を（ｎ－１）とした分散）が上記のような例では使われる。こうして求められた検定統計量をｔ値と呼び、ｔ分布と呼ばれる分布図によって有意水準を知ることができる。そのさい自由度もまた（ｎ－１）となる。対応のある（たとえば一卵性双生児の群一方ずつのような）２群のｔ検定の場合、ｚ得点をｔとして扱えばよい。 　

　では独立な２つの平均値の差はどうやって検定できるのだろうか。独立な２群の平均値の差もまた正規分布することを考慮して、結論から書くと、 ｔ＝（Ｘ1－Ｘ2）÷√（（（ｎ1－１）σ1二乗＋（ｎ2－１）σ2二乗））／（n1＋ｎ2－２）×（（１／ｎ1）＋（１／ｎ2））） となる（フォントの関係でσと書いてあるのは不偏分散を意味する。以下同じ）。しかし２群のサンプルサイズが等しい場合は、 ｔ＝（Ｘ1－Ｘ2）÷√（（σ1＋σ2）／ｎ） と単純化できる。このｔ値をもとにそれぞれ（ｎ1＋ｎ2－２）、（ｎ－２）の自由度でｔ分布を眺めれば、ｔが何％水準でどうなのかが分かるのである。

　心理統計学においては、スティーブンスによればある集合の名前以上でない尺度を名義尺度、順番を表しているに過ぎない尺度を順序尺度、絶対０点が定まっていないが四則演算ができる尺度を間隔尺度、絶対０点が定まっている四則演算ができる尺度を比尺度と呼び、それぞれに適用可能な統計的検定がある。 　

　まず手始めに名義尺度でできる統計的演算を取り上げる。 　

　期待度数と観測度数に大きなズレがあるかどうか、またはデータ全体から部分数値同士が独立ではないと言えるかどうかの統計的検定を「χ（カイ）二乗検定」と言う。例を２つ使ってそれぞれを説明する。 　

　例１・・・六肢選択で麻雀が一番好きな人が２０人、パチンコが一番好きな人が３５人、将棋が一番好きな人が１５人、囲碁が一番好きな人が１０人、トランプが一番好きな人が１０人、花札が一番好きな人が１０人、の計１００人がいたとする。このそれぞれの好みは期待度数（それぞれ６分の１）通り（つまりランダムに）に分布していると言えるかを統計的に検定せよ。 　

　検定統計量χ二乗は以下の式で求められる。 　

　χ2＝（Ｏ1－Ｅ1）2／Ｅ1＋・・・・・・・・＋（Ｏn－Ｅn）2／Ｅn 　ここで自由度は（ｎ（カテゴリー数）－１）となる。 　 　　　　　　

　χ2＝（２０－１６．６）2／１６．６＋（３５－１６．６）2／１６．６＋（１５－１６．６）2／１６．６＋（１０－１６．６）2／１６．６＋（１０－１６．６）2／１６．６＋（１０－１６．６）2／１６．６＝０．６９６＋２０．３９５＋０．１５４＋３（２．６２４）＝２２．１１７ 　

　自由度５のχ二乗値は２２．１１７であった。この値は（心理統計の本の巻末に載っている）χ2値の有意水準ｐ≦．０１の１５．０８６より大きいため、１％水準で有意である。よって、この１００人の嗜好は偏っている、と言える。ここで言う「有意」とは「嗜好が偏っていると言える確度の高さ」のことである。１％水準で有意ということは、１００回同じ調査をして１回だけ「偏りがない」と言う結果が期待されると言う意味である。なお、断りがなかったが、ここでは帰無仮説（特徴はない、と言う仮説）を対立仮説「特徴がある」で退けているが、このことを「帰無仮説の棄却」あるいは「対立仮説の採択」という。正しい帰無仮説を棄却してしまう誤りのことを「第１種の誤り」と言いこの可能性は有意水準に等しい。逆に誤った帰無仮説を棄却できない誤りのことを「第２種の誤り」と言いβで表す。（１－β）のことを「検定力」と言う。 　

　例２・・・水泳をしているか否かとウォーキングをしているか否かについて２００人から以下のような結果を得たとする。水泳とウォーキングに関連があるか否かを検定せよ。

水泳　　　　　　　する　　　　しない　　　計

ウォーキングする　４０　　　　６０　　１００

しない　　　　　　１５　　　　８５　　１００

計　　　　　　　　５５　　１４５　　　２００ 　

このような場合、計から期待確率を推計する。この場合、ウォーキングをする人は１００：１００で２００人、水泳をする人は５５：１４５で２００人だから期待値は、

水泳　　　　　　　する　　　しない　　　計

ウォーキングする２７．５　　７２．５　１００

しない　　　　　２７．５　　７２．５　１００

計　　　　　　　５５　　　　１４５　　２００

となります。早速χ二乗値を求めてみましょう。 　　　　

　χ2＝（２７．５－４０）2／２７．５＋（７２．５－６０）2／７２．５＋（２７．５－１５）2／２７．５＋（７２．５－８５）2／７２．５＝５．６８＋２．１６＋５．６８＋２．１６＝１５．６８ となって自由度３のχ二乗表を見ると１％水準の値が１１．３４５以上なので、帰無仮説「水泳とウォーキングには関連がない」が棄却され、「水泳とウォーキングには関連がある」と言う対立仮説を採択する。 　

　χ二乗値は、その計算式からわかるように、期待値と実現値のズレの総和である。それゆえ期待値が分かる場合の検定となっている。

　大学で「心理学基礎実験（通年２単位）」を履修した方は読まなくて良いです。 　

　ここでは、心理学論文の書き方に触れておく。

　心理学の論文の体裁は「アブストラクト」「目的」「経緯」「研究方法」「被検体（被検者）」「結果」「考察（ディスカッション）」「結論」の順で書いていく。「アブストラクト」とは「研究のまとめ」のことで一目で見てわかる実験の目的・結果・結論の要旨のことである。 　

　「目的」ではこの研究で何を追究するのかを書く。たとえば「（最初に見た時計の秒針の１秒が他の秒より長く感じられる）初頭秒効果の研究」を例に取れば、「なぜ物理的には同じ長さの１秒なのに時計に目をやった瞬間の１秒だけが長く感じられるのかを明らかにするために本研究を行った」などとなる。 　

　「経緯」は、過去のその主題にまつわる研究をレビューして、「なぜその研究を行うのか」・「心理学研究の中でのその意義」を書く。 　

　「方法」においては先の例で述べれば、「実験者が多数の被検者に同時に３針式の電波時計を持たせ、実験者は秒針が変わるジャストのタイミングで「ハイ！」と声をかけ被検者らに数秒間秒針を見てもらう。そしてその数秒間が過ぎた後に、「最初の一秒が最も長く感じたひと」と問い挙手してもらう。そして実験者は挙手した人数を数え上げる。そしてその後の数秒に対しても同様に挙手してもらい人数を数え上げる」と言ったように実験方法を記述する。確かにその研究でその効果を捉えているのかを確認するためにその効果をみる目的でその実験で見る変数以外（たとえば知能）はまったく同じ統制群を設定する場合には、それにも言及する。 　

　「被検体（者）」は実験・研究の対象を書く。たとえば「生後３０日～３５日の実験的にナイーヴなアルビノラット２０匹」、「男女１００名ずつの学部学生」などとする。ここでは適切に実験被検体（者）が公平に選ばれていることをチェックできるよう記述する。 　

　「結果」では実験・研究の結果をわかりやすく報告する。表や統計的検定結果もここで報告する。上記の例でカイ二乗検定（後節で説明）で有意に初頭秒の挙手率が高かったとする。その場合「ｘ％水準で初頭秒の挙手率が有意に高かった」などと記述する。 　

　「考察（ディスカッション）」では特異な効果や現象の原因、主張したい仮説とそれへの結果の適否、否とすれば他の考えられる可能性などを論ずる。上記の例では「視覚的順応過程が主観的時間の長さを生み出しているものと考えられる」などと記述する。実際には「結果と考察」はイメージを膨らませて様々に肉付けする。 　

　「結論」において採択した仮説、自分の仮説との合否などを書き、論文を締めくくる。 　

　最後にすべてをまとめ、「アブストラクト」とし、冒頭へ移動する。論文の末尾に引用した参考文献を記す。 　

　これで一応の論文の書き方については述べた。