カテゴリー: 数学

　
　その２乗が２４ｘ＋１で
　かつ
　その数値が６ｎ±１

　
　ゼノンの有名な矢のパラドックスは、次のように考えると氷解する。なお、矢は等速直線運動をすると仮定する。

　「矢は到着点までその半分、そのまた半分、そのまたそのまた半分を通過しなければならないので矢は最終的に到着点に辿り着くことができない」。

　この詭弁は次のように考えるとすんなり理解できる。

　「矢がその半分に到達するのにかかる時間は全体の２分の１、そのまた半分に到着するのにかかる時間は全体の４分の１、そのまたそのまた半分に到着するのに要する時間は８分の１…」…これらの時間の合計は矢が射出点から到着点に達する時間に等しい。

　つまりこの問題の「逆パラドックス」は、次のことを教える。

　「時間を半分点、その半分点、そのまた半分点、そのまたそのまた半分点…と切り刻んでいるうちは、総所要時間に永久に及ばない」。

　まぁ、微分学のようなお話なのであった。

　
　僕の「真実は短い言葉で表現できる」と言う信念が炸裂した。

　２５以上の素数の自乗はみな２４ｘ＋１と表現できる。逆に言えば、自乗値がそうならない素数はない。すべての自然数は２乗値を持つ。真実はそれだけである。逆は真ではない。

　これで我々は、想像より遙かに軽い素数生成、素数判定プログラムを作る最低の知恵を手にしたことになる（予め直観的に素数ではないと分かる２と５の倍数および各桁の数字の総和が３の倍数になる数値（それは３の倍数である）および自乗から１を引いて２４で割り切れない数値、および２４までの素数でない数字だけに限っては「先天的（ア・プリオリ）」に、および素数の自乗など（これも２４ｘ＋１が成立する数かどうかでそれに引っ掛かった数の√が小さい奇数から大きな奇数（√「素数自乗」まで）で試し割りしたときにその「自然数」以下にもう割り切れない（つまり、どの奇数でも割り切れなかった）自然数であるものを素数とする…このとき、２４ｘ＋１も、２４ｘ、２４ｘ±２、２４ｘ±３、２４ｘ±４、２４ｘ±６、２４ｘ±８、２４ｘ±９、２４ｘ±１０、２４ｘ±１２、２４ｘ±１４、２４ｘ±１５、２４ｘ±１６、２４ｘ±１８、２４ｘ±２０、２４ｘ±２１、２４ｘ±２２、２４ｘ±２４…なども素数ではないことに注意／なお、２４ｘ＋１問題の網に引っ掛かった数は上記の方法で素数判定ができるが、そうでない数を）、および以上の倍数はすべて「素数ではない」としてデータベースに格納する…。素数の自乗が判明した数については、その数は素数としてデータベースに格納する（※この方法だと１京くらいまでの素数は苦もなく分かるだろう）。

　素数だと（自乗−１）÷２４＝自然数、それが素数などを証明する篩だったのである。５以上のある値を自乗して、１引いて２４で割り切れない数は、少なくとも素数ではない。
　
　なお、この知恵が筆者オリジナルであることに誰も気付いてはいない。

　課題：６の倍数を基軸に５の倍数も加味して素数を検討のこと。

　　　　
　僕の「真実は短い言葉で表現できる」と言う信念が炸裂しました。

　２５以上の素数の自乗はみな２４ｘ＋１と表現できる。逆に言えば、自乗値がそうならない素数はない。すべての自然数は２乗値を持つ。真実はそれだけである。

　こうなると最早コンピューターもへったくれもない。

（以下旧記述）

　２と５の倍数は直観的に倍数だと分かるので、はじめから素数列から除外されているものとする。

　５以上の任意の素数を３で割った余りの数と、６で割った余りの数の積は、それが素数である限りは必ず１か１０しかない。（３で割ったとき、６で割ったとき）の余りの出現（１、１）ないし（２、５）がそうであって、素数の出現規定性そのものの５ないし７の積数（６ｎ±１の最初の素数）、２４で割ったときの余りが１であるものは素数の２乗値（と言うことは、連続素数の積も小さい方の素数との素数差を大きい素数と掛け合わせてその数を引くと得られることになる…このすべての素数への拡張などの他の工夫も含めてこれを計算に組み入れると素数の掛け合わせ数列の算出は意外と楽になる…もちろんそれらは素数でない）、および素数の掛け合わせ数列では任意の素数の自乗値を最大としてその√以下の最小素数値（最小は１１）から最大素数値まで順々に割ってみて割り切れた数値、それらすべてを除いた数値列が素数列となる。

　取り敢えず、これを「素数の剰余同調仮説」とでも呼んでおきたい。素数には独特の桁のようなものがありそうに見える。そこでの数値の配当構造は、原基的には（６ｎ－１）同士と（６ｎ＋１）同士の４間隔および８間隔となっている。

　このようなわけで、この論理を巨大素数自乗値よりずっと小さい数なりわずかに小さい数なり巨大素数自乗値そのもの以下なり（おそらく、ミディアムサイズの数から計算を始めるのが最も能率的）から素数積を探すコンピュータープログラムにすれば、非常に軽い素数生成・素数判別ができるようになる（素数／非素数の確定値は演算ごとにデータベースに格納しておけば二度手間を避けた効率的な計算が可能である…つまり、素数／非素数の確定値は再び算出する煩わしさを逃れられる…素数については最初期値として２から１万個程度を予めデータベースに格納しておくのが望ましい…実用上、１兆程度までの素数が把握できれば良いと考えている）。方略として、どこまでかの連続素数の悉皆積－１あたりから出発して数を２つずつ減らしてゆくなども良いかも知れない。

　素数列のロジック自体は「素数同士の公倍数はすべて欠損値となる」と言うもので、さして複雑なものではない。それゆえ素数自体は値が大きくなるほど減ってゆく。それは上記に述べた通りである。

　そんな風に条件を詰めていけばいずれ完全な解に辿り着くだろう。筆者は野心家ではないので、完璧は期さない。

　参考までに最初の着想も書き留めておく。

　５以上の連続する奇数で、それらをそれぞれ６で割ってそれらの余りの和が６であるようなペアをなすものの少なくとも一方は素数である。

　ここまで考え詰めてもシンプルな結論には勝てなかった。

　
　ユークリッド幾何学には、人間の認識と相容れない部分があるのでそれを質したい。

　点と線の定義において、それらは面積を持たないと仮定しているが、面積を持たない点や線は実在しない。

　こう指摘するとすぐにひとびとはイデア論の話に逃げる。点も線も真円も正三角形も実描に対するイデアであって、現実には描き得ず、なので真実に実在するものはイデア（仮構）だけなのだ…と。

　よくよく考えてほしい。この話は単なるレトリックなだけなのではないか、…と言うのも、点や線や真円や正三角形は現実に描き得ず…と言っておきながら、我々の脳裡でだけは描き得る、と言う…ちょっと待ってくれよ、そんなの我々の脳裡でさえ描き得ないではないか、…と言うお話になる。

　ユークリッド幾何学…延いてはイデア論そのものに矛盾があるのである。

　少し真面目に考えると、どこからそんなことを発明したのかは知らないが、点や線や真円や正三角形ほど真実には実在しえないものはない…だがみんなはそれ（＝イデア）だけが真実に実在するのだと言う。

　ユークリッド幾何学自体の限界も含めて、イデア論に潜む矛盾についてご一考を迫っておく次第である。

　
　心理学においても、多彩な統計学の手法を用いていることは常識的なことである。

　しかし、その「ミソ」を明確にイメージできているひとはまずいない。

　そこで、ここでは統計的検定、中でも使用頻度の大きい「２つの平均値の差の検定（いわゆるｔ検定）」について、イメージからお話してみたい。

　集団Ａと集団Ｂがいずれもある課題について正規分布をするとする。しかし集団Ａの平均が５０点（標準偏差４．５）で、集団Ｂの平均が５５点（標準偏差５．０）だったとする。

　ここで集団Ａの平均値と集団Ｂの平均値に有意な差があるかと言う問題に統計的答えを出すためには、これら２つの集団の正規分布曲線を重ねてみて、重複部分の面積が相対的に大きければ「有意差なし」、小さければ「有意差あり」と言うことになる。有意差についてはある程度重複面積が小さければ「５％水準で有意」、さらに小さければ「１％水準で有意」とかになり、マスコミの記事でこうした表現に触れたひとも少なくないだろう（要するに１００回そうして５回ないし１回未満しか起こらない確率と言う意味です）。

　イメージで語れば、そのような手続きを取ることによって、集団Ａと集団Ｂの平均値に差があるのかを検討できることは容易にお分かりいただけるであろう。本当に簡便な数式でこれを求めることができるのなら、それが主流となるべきである。

　しかし残念ながら、現実にはそのような統計学的手続きが実在するわけではなく、２つの集団の差分から成るもうひとつの正規分布曲線を導き出して、統計的に「有意」なのか否かを判別するのが現在のｔ検定の現実の手続きである。

　ここでの目的は、イメージとして統計的検定、分けてもｔ検定を理解してもらうことだったので、これで良しとしよう。

　正整数ｎの２乗の導出式 　　

　　　　　　　　　　　差分　　　　

１の２乗　　　１　　　　１ 　　

２の２乗　　　４　　　　３ 　　

３の２乗　　　９　　　　５ 　　

４の２乗　　　１６　　　７ 　　

５の２乗　　　２５　　　９ 　　　　　

……… 　

　以上のことからｎの２乗は 　（ｎ－１）²＋（ｎ＋（ｎ－１）） 　と表現することができる。 　

　これは、（ｎ－１）²の展開式（ｎ²－２ｎ＋１）からn²に持って行けばよいので、例えばｎ³でもｎ⁴でもnのｒ乗でもこれと同様の解を求めることができる。 　

　ただし、そのような論理解を求めるより上記のような直感解を求める癖を付けた方が算術的なセンスは磨けるように思う。