１００以下の素数については、暗記していただくとして、逆子数の法則を使った３桁以上の素数判定について言及する。
素数の逆子数との差が３桁以上の奇数桁で９９の倍数になり、偶数桁で１８の倍数になることが判明した。
取り急ぎご報告まで。
カテゴリー: 数学
逆子数の法則
例として９７３１を取ってみよう。
９７３１の逆子数は１３７９である。その差は８３５２。これを９で割ると９２８。
１５０３１を取ってみよう。
１５０３１の逆子数は１３０５１である。その差は１９８０。これを９で割ると２２０。
８６２３１３を取ってみよう。
８６２３１３の逆子数は３１３２６８である。その差は５４９０４５。これを９で割ると６１００５。
こんな風にある大きな整数から小さなその逆子数を引くとそれは必ず９の倍数になる。
では、左右対称数、たとえば１１１１とか１１２１１はどう考えれば良いかと言うと、差は０なので９×０の結果だと解すれば良い。
１０のように逆子数が１桁になる場合は、０１と２桁に読み替えて計算すると良い。
奇数桁のときだけ大きな整数－その逆子数は９９の倍数になる。
それだけではない。桁にある数字をどう入れ替えて差を取ってもその差は９の倍数になる（０を先頭に持ってきて０を抜かすものは除く／数の入れ替えにかんしては、９９の倍数則は成り立たない）。
最後に、任意の整数＋その逆子数を計算すると１１の倍数になることを付け加えておく（こちらは偶数桁に限る…偶数桁同士の演算である限りは、繰り上がって奇数桁になる場合も可）。
素数以外の求め方（末尾に素数の作り方を収録）
ａｂｃ… × ｘｙｚ…
（桁を保ったままにするため）桁数計算に注意
１００００ａｘ＋１０００ａｙ＋１００ａｚ…＋１０００ｂｘ＋１００ｂｙ＋１０ｂｚ…
＋１００ｃｘ＋１０ｃｙ＋ｃｚ…＝ｒ
と書ける
１２３×４５６の場合
４００００＋５０００＋６００＋８０００＋１０００＋１２０＋１２００＋１５０＋１８
＝５６０８８
…どこに注目すれば良いだろうか
素数とはこのような式が全く成り立たない数のことである
具体的には…
各桁が１や０並びの倍数を除くとやはり７の数論的性格が分かると素数問題は解決する
７にまつわる素数積は７×７の他３×７、３×９、１×７、９×９しかない
下一桁に見事に１、３、７、９が登場するが、この場合以外は考慮する必要がない
下一桁が７の場合は構わず７が下階にくる上桁の積だけを考えれば良い…
（下２桁目が０か７以外の積数値はない）
下一桁が１の場合は２が繰り上がる下二桁から２を引くと上階の二桁目が分かるか、８が繰り上がる下２桁から８を引く
下一桁が３の場合は６が繰り上がる下二桁から６を引くと上階の二桁目が分かる
下一桁が９の場合は４が繰り上がる下二桁から４を引くと上階の二桁目が分かる
上階の二桁目の積はａｂｃ… × ｘｙｚ…のｂｚ＋ｃｙ＋繰り上がり数と定まる…あとはａｂ×ｘｙが（ｂｚ＋ｃｙ＋繰り上がり数）の繰り上がり数を上階の積から引いてそれが１０未満の整数になる７を最下階とする素数の積ｐｑ…７になっていないかを確認すれば良い（その上桁が１０を超えるときは１を引いて下桁に１０を加える）
同様にｐｑ…１、ｐｑ…３、ｐｑ…９も計算する
非素数の数値に含まれているいかなる素数成分をその何倍数でもそれに足してもそれは非素数…地道に非素数を出してゆきたいならそれを考えれば良い
任意の自然数をｎで割るとその余りはｎ進数になる。ｎ進数を元に戻すには、桁が繰り上がるごとに１０－ｎを加えれば良い…このようなアプローチで考えると、もっと素数の問題もスマートに考えられるのかも知れない。
以上は素数の排除法である。
総括として素数の定義を与えておく。
すべての素数そのもの、またはすべての素数に同数素数をそれらに偶数回足してもつぶれない数の並びが素数（ただし、２以外の偶数もすべてつぶす）。
ないし
素数になる数の考えられるパターンは５ｘ（奇数）＋２、５（１を除く奇数）＋２＋２、５ｘ（６の倍数を除く偶数）＋３、５ｘ（３の倍数を除く奇数）＋３＋３のみ、したがってそれらが他の素数の素数倍数でなければ素数。
素数の素数倍数は素数の以下の特性を使って求めると良い。
素数ｘにつき、ｘ＋１０ｘ＋１００ｘ＋１０００ｘ＋…はｘの倍数なので、そこから素数倍数回ｘを引けば良い。あるいはもっと単純にｘの素数倍数積を求めれば良い。
なお、これを素数の条件式２４ｎ＋１、６ｍ±１、各桁の和が３と９の倍数の数はそれぞれ３と９の倍数であることと併せて勘案すれば、千分の１以下の労力で素数を計算することができる。手計算では労力がいるが、コンピュータープログラムにすれば相当な早さで素数と非素数の区分けができるであろう。
素数の成り立ち（２９以上の素数につき）
すべての素数は素因数の完全に違う（重ならない、一方に素因数２を含む）数の和らしい（これでなぜ数の大きな素数が減っていくのかも理解できる）
ある２を含む素因数を持つ数＋ある素因数以外の素因数を持つ数（素因数はそれぞれ２つずつ選択）
例）１４＋１５、１０＋２１、２２＋１５、６＋３５、２２＋２１、２６＋１５、２２＋２１、１４＋３３、…
２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３…（２は必須）
×
上で選択した数字と１つも被らない
３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３…
上記条件を満たす任意の２つの素因数を持つ数の和＝素数
そこから分かる素数の定義は、したがって、ある数が別々のそれぞれ２つの素因数（一方には必ず素因数２がある）を持つ数の和に分解できるとき、それは素数である、となる。
…まぁ、この素数のでき方が素数にはたらく法則と言えば法則なのだろう。
…しかし、例外が多すぎる。
２０２５年１２月２８日 新訂
ゼノンの「矢のパラドックス」の理解法
ゼノンの有名な矢のパラドックスは、次のように考えると氷解する。なお、矢は等速直線運動をすると仮定する。
「矢は到着点までその半分、そのまた半分、そのまたそのまた半分を通過しなければならないので矢は最終的に到着点に辿り着くことができない」。
この詭弁は次のように考えるとすんなり理解できる。
「矢がその半分に到達するのにかかる時間は全体の２分の１、そのまた半分に到着するのにかかる時間は全体の４分の１、そのまたそのまた半分に到着するのに要する時間は８分の１…」…これらの時間の合計は矢が射出点から到着点に達する時間に等しい。
つまりこの問題の「逆パラドックス」は、次のことを教える。
「時間を半分点、その半分点、そのまた半分点、そのまたそのまた半分点…と切り刻んでいるうちは、総所要時間に永久に及ばない」。
まぁ、微分学のようなお話なのであった。
ユークリッド幾何学批判
ユークリッド幾何学には、人間の認識と相容れない部分があるのでそれを質したい。
点と線の定義において、それらは面積を持たないと仮定しているが、面積を持たない点や線は実在しない。
こう指摘するとすぐにひとびとはイデア論の話に逃げる。点も線も真円も正三角形も実描に対するイデアであって、現実には描き得ず、なので真実に実在するものはイデア（仮構）だけなのだ…と。
よくよく考えてほしい。この話は単なるレトリックなだけなのではないか、…と言うのも、点や線や真円や正三角形は現実に描き得ず…と言っておきながら、我々の脳裡でだけは描き得る、と言う…ちょっと待ってくれよ、そんなの我々の脳裡でさえ描き得ないではないか、…と言うお話になる。
ユークリッド幾何学…延いてはイデア論そのものに矛盾があるのである。
少し真面目に考えると、どこからそんなことを発明したのかは知らないが、点や線や真円や正三角形ほど真実には実在しえないものはない…だがみんなはそれ（＝イデア）だけが真実に実在するのだと言う。
ユークリッド幾何学自体の限界も含めて、イデア論に潜む矛盾についてご一考を迫っておく次第である。
統計的検定の初歩
心理学においても、多彩な統計学の手法を用いていることは常識的なことである。
しかし、その「ミソ」を明確にイメージできているひとはまずいない。
そこで、ここでは統計的検定、中でも使用頻度の大きい「２つの平均値の差の検定（いわゆるｔ検定）」について、イメージからお話してみたい。
集団Ａと集団Ｂがいずれもある課題について正規分布をするとする。しかし集団Ａの平均が５０点（標準偏差４．５）で、集団Ｂの平均が５５点（標準偏差５．０）だったとする。
ここで集団Ａの平均値と集団Ｂの平均値に有意な差があるかと言う問題に統計的答えを出すためには、これら２つの集団の正規分布曲線を重ねてみて、重複部分の面積が相対的に大きければ「有意差なし」、小さければ「有意差あり」と言うことになる。有意差についてはある程度重複面積が小さければ「５％水準で有意」、さらに小さければ「１％水準で有意」とかになり、マスコミの記事でこうした表現に触れたひとも少なくないだろう（要するに１００回そうして５回ないし１回未満しか起こらない確率と言う意味です）。
イメージで語れば、そのような手続きを取ることによって、集団Ａと集団Ｂの平均値に差があるのかを検討できることは容易にお分かりいただけるであろう。本当に簡便な数式でこれを求めることができるのなら、それが主流となるべきである。
しかし残念ながら、現実にはそのような統計学的手続きが実在するわけではなく、２つの集団の差分から成るもうひとつの正規分布曲線を導き出して、統計的に「有意」なのか否かを判別するのが現在のｔ検定の現実の手続きである。
ここでの目的は、イメージとして統計的検定、分けてもｔ検定を理解してもらうことだったので、これで良しとしよう。
べき乗の増分法則
正整数ｎの２乗の導出式
差分
１の２乗 １ １
２の２乗 ４ ３
３の２乗 ９ ５
４の２乗 １６ ７
５の２乗 ２５ ９
………
以上のことからｎの２乗は （ｎ－１）²＋（ｎ＋（ｎ－１）） と表現することができる。
これは、（ｎ－１）²の展開式（ｎ²－２ｎ＋１）からn²に持って行けばよいので、例えばｎ³でもｎ⁴でもnのｒ乗でもこれと同様の解を求めることができる。
ただし、そのような論理解を求めるより上記のような直感解を求める癖を付けた方が算術的なセンスは磨けるように思う。