心理統計学においては、スティーブンスによればある集合の名前以上でない尺度を名義尺度、順番を表しているに過ぎない尺度を順序尺度、絶対０点が定まっていないが四則演算ができる尺度を間隔尺度、絶対０点が定まっている四則演算ができる尺度を比尺度と呼び、それぞれに適用可能な統計的検定がある。
まず手始めに名義尺度でできる統計的演算を取り上げる。
期待度数と観測度数に大きなズレがあるかどうか、またはデータ全体から部分数値同士が独立ではないと言えるかどうかの統計的検定を「χ（カイ）二乗検定」と言う。例を２つ使ってそれぞれを説明する。
例１・・・六肢選択で麻雀が一番好きな人が２０人、パチンコが一番好きな人が３５人、将棋が一番好きな人が１５人、囲碁が一番好きな人が１０人、トランプが一番好きな人が１０人、花札が一番好きな人が１０人、の計１００人がいたとする。このそれぞれの好みは期待度数（それぞれ６分の１）通り（つまりランダムに）に分布していると言えるかを統計的に検定せよ。
検定統計量χ二乗は以下の式で求められる。
χ2＝（Ｏ1－Ｅ1）2／Ｅ1＋・・・・・・・・＋（Ｏn－Ｅn）2／Ｅn ここで自由度は（ｎ（カテゴリー数）－１）となる。
χ2＝（２０－１６．６）2／１６．６＋（３５－１６．６）2／１６．６＋（１５－１６．６）2／１６．６＋（１０－１６．６）2／１６．６＋（１０－１６．６）2／１６．６＋（１０－１６．６）2／１６．６＝０．６９６＋２０．３９５＋０．１５４＋３（２．６２４）＝２２．１１７
自由度５のχ二乗値は２２．１１７であった。この値は（心理統計の本の巻末に載っている）χ2値の有意水準ｐ≦．０１の１５．０８６より大きいため、１％水準で有意である。よって、この１００人の嗜好は偏っている、と言える。ここで言う「有意」とは「嗜好が偏っていると言える確度の高さ」のことである。１％水準で有意ということは、１００回同じ調査をして１回だけ「偏りがない」と言う結果が期待されると言う意味である。なお、断りがなかったが、ここでは帰無仮説（特徴はない、と言う仮説）を対立仮説「特徴がある」で退けているが、このことを「帰無仮説の棄却」あるいは「対立仮説の採択」という。正しい帰無仮説を棄却してしまう誤りのことを「第１種の誤り」と言いこの可能性は有意水準に等しい。逆に誤った帰無仮説を棄却できない誤りのことを「第２種の誤り」と言いβで表す。（１－β）のことを「検定力」と言う。
例２・・・水泳をしているか否かとウォーキングをしているか否かについて２００人から以下のような結果を得たとする。水泳とウォーキングに関連があるか否かを検定せよ。
水泳 する しない 計
ウォーキングする ４０ ６０ １００
しない １５ ８５ １００
計 ５５ １４５ ２００
このような場合、計から期待確率を推計する。この場合、ウォーキングをする人は１００：１００で２００人、水泳をする人は５５：１４５で２００人だから期待値は、
水泳 する しない 計
ウォーキングする２７．５ ７２．５ １００
しない ２７．５ ７２．５ １００
計 ５５ １４５ ２００
となります。早速χ二乗値を求めてみましょう。
χ2＝（２７．５－４０）2／２７．５＋（７２．５－６０）2／７２．５＋（２７．５－１５）2／２７．５＋（７２．５－８５）2／７２．５＝５．６８＋２．１６＋５．６８＋２．１６＝１５．６８ となって自由度３のχ二乗表を見ると１％水準の値が１１．３４５以上なので、帰無仮説「水泳とウォーキングには関連がない」が棄却され、「水泳とウォーキングには関連がある」と言う対立仮説を採択する。
χ二乗値は、その計算式からわかるように、期待値と実現値のズレの総和である。それゆえ期待値が分かる場合の検定となっている。